Області збіжності загальних рядів Діріхле з комплексними показниками

Анотація

Нехай $(\lambda_n)$ $-$ послідовність попарно різних комплексних чисел. Для формального ряду Діріхле $F(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_ne^{z\lambda_n}$, $z\in\mathbb{C}$, через $G_{\mu}(F),$ $G_{c}(F),$ $G_{a}(F)$ позначимо області існування, збіжності та абсолютної збіжності максимального члена $\mu(z,F)=\max\{|a_n|e^{\Re(z\lambda_n)} : n\geq 0\}$, відповідно.

Позначимо $\mathcal{N}_1(z):=\{n : \Re(z\lambda_n)>0\},$ $\mathcal{N}_2(z):=\{n : \Re(z\lambda_n)<0\}$, \[ \alpha^{(1)}(\theta) :=\varliminf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{2}{n\to +\infty}{n\in\mathcal{N}_1(e^{i\theta})}}\frac{-\ln|a_n|}{\Re(e^{i\theta}\lambda_n)},\qquad \alpha^{(2)}(\theta) :=\varlimsup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{2}{n\to +\infty}{n\in\mathcal{N}_2(e^{i\theta})}}\frac{-\ln|a_n|}{\Re(e^{i\theta}\lambda_n)}. \]

Припустимо, що $a_n\to 0$ при $n\to +\infty$. У статті, зокрема, доведено наступні твердження.

$1)$ Якщо $\alpha^{(2)}(\theta)<\alpha^{(1)}(\theta)$ для деякого $\theta\in [0,\pi)$, то \[\big\{te^{i\theta}: t\in (\alpha^{(2)}(\theta),\alpha^{(1)}(\theta))\big\}\subset G_\mu(F),\] а також \[\big\{te^{i\theta}: t\in (-\infty,\alpha^{(2)}(\theta))\cup (\alpha^{(1)}(\theta),+\infty)\big\}\cap G_\mu(F)=\emptyset.\]

$2)$ $G_\mu(F)=\bigcup\limits_{\theta\in [0,\pi)}\{z=te^{i\theta}\colon t\in (\alpha^{(2)}(\theta),\alpha^{(1)}(\theta))\}.$

$3)$ Якщо $h:=\varliminf\limits_{n\to +\infty}\frac{-\ln |a_n|}{\ln n}\in (1,+\infty]$, то \[\Big(\frac{h}{h-1}\cdot G_a(F)\Big)\supset G_\mu(F)\supset G_c(F).\] Якщо $h=+\infty$, то $G_a(F)=G_c(F)=G_\mu(F)$, тому $G_c(F)$ також опукла область.