Відносне зростання цілої функції та інтегральної лічильної функцiї її нулів

Анотація

Нехай $(\zeta_n)$ $-$ комплексна послідовність така, що $0<|\zeta_1|\le|\zeta_2|\le\dots$ і $\zeta_n\to\infty,$ $n\to\infty$, $N(r)$ $-$ усереднена лічильна функція цієї послідовності, а $\alpha$ $-$ додатна, неперервна, зростаюча до $+\infty$ на $\mathbb{R}$ функція, для якої $\alpha(r)=o(\ln (N(r)/\ln r))$, $r\to+\infty$. Доведено, що для кожної множини $E\subset(1,+\infty)$, яка задовольняє оцінку $\int_{E}r^{\alpha(r)}dr=+\infty$, існує ціла функція $f$ з нулями в точках $\zeta_n$ і лише в них (з урахуванням кратності), для якої правильне співвідношення $$ \varliminf_{r\in E,\ r\to+\infty}\frac{\ln\ln M(r)}{\ln r\ln (N(r)/\ln r)}=0, $$ де $M(r)$ $-$ максимум модуля функції $f$. Показано також, що наведене співвідношення є в певному сенсі остаточним.