Про узагальнення одного рівняння Шаха

Анотація

Ряд Діріхле $F(s)=e^{hs}+\sum_{k=2}^{\infty}f_ke^{s\lambda_k}$ з показниками $0<h<\lambda_k\uparrow+\infty$ і абсцисою абсолютної збіжності $\sigma_a[F]\ge 0$ називається псевдозірковим порядку $\alpha\in [0,\,h)$ і типу $\beta\in(0,\,1]$ в $\Pi_0=\{s:\,\text{Re}\,s<0\}$, якщо
\[\left|\frac{F'(s)}{F(s)}-h\right|<\beta\left|\frac{F'(s)}{F(s)}-(2\alpha-h)\right|\] для всіх $s\in \Pi_0$. Аналогічно, функція $F$ називається псевдоопуклою порядку $\alpha\in [0,\,h)$ і типу type $\beta\in(0,\,1]$, якщо \[\left|\frac{F''(s)}{F'(s)}-h\right|<\beta\left|\frac{F''(s)}{F'(s)}-(2\alpha-h)\right|\] для всіх $s\in \Pi_0$, а $F$ називається близькою до псевдоопуклої, якщо існує така псевдоопукла (з $\alpha=0$ і $\beta=1$) функція $\Psi$, що $\text{Re}\{F'(s)/\Psi'(s)\}>0$ в $\Pi_0$.

Знайдено умови на параметри $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, $c_1$, $c_2$, за яких диференціальне рівняння \[\dfrac{d^n w}{ds^n}+ (a_1 e^{hs}+a_2)\dfrac{dw}{ds}+(b_1e^{hs}+b_2) w=c_1e^{hs}+c_2, \quad n\ge 2,\] має цілий розв'язок, псевдозірковий, або псевдоопуклий порядку $\alpha\in [0,\,h)$ і типу $\beta\in(0,\,1]$, або близький до псевдоопуклого в $\Pi_0$. Доведено, що для такого розв'язку \[\ln\,M(\sigma,F)=(1+o(1))\dfrac{n\root{n}\of{|b_1|}}{h}e^{h\sigma/n}\quad \text{при}\quad \sigma \to+\infty,\] де $M(\sigma,F)=\sup\{|F(\sigma+it)|:\, t\in {\mathbb R}\}$.