Локальні флуктуації Пойа гравітаційних полів Рісса та задача Коші

Анотація

Розглядається псевдодиференціальне рівняння параболічного типу з дробовим степенем оператора Лапласа порядку $\alpha\in(0;1)$, що діє за просторовою змінною. Це рівняння природньо узагальнює відоме рівняння фрактальної дифузії. Воно описує локальний вплив рухомих об'єктів у гарвітаційному полі Рісса. Простішим прикладом такої системи об'єктів є зоряні галактики, в яких взаємодія відбувається згідно з гравітаційним законом Ньютона. Для цього рівняння розв'язується задача Коші в класі неперервних обмежених початкових функцій. Фундаментальний розв'язок цієї задачі є розподілом Пойа $\mathcal{P}_\alpha(F)$ ймовірностей для сили $F$ локальної взаємодії між цими об'єктами. Одержано оцінки похідних цього розв'язку, за допомогою яких встановлено коректну розв'язність задачі Коші за певних умов на коефіцієнт локальної флуктуації гравітаційного поля. При цьому знайдено форму класичного розв'язку цієї задачі та досліджено властивості його гладкості й поведінку на нескінченності. Також з'ясовано можливість локального посилення збіжності в початковій умові. Одержані результати проілюстровано на моделі $\alpha$-блукання частинки Леві в евклідовому просторі $\mathbb{R}^3$ у випадку, коли частинка починає свій рух з початку координат. Досліджено ймовірність повернення цієї частинки у своє вихідне положення. Зокрема, встановлено, що ця ймовірність є спадною функцією, яка з плином часу прямує до нуля, а сама частинка "покидає" простір $\mathbb{R}^3$.