Матричні діофантові рівняння над квадратичними кільцями та їх розв'язки

Анотація

Розроблено метод розв'язування матричних діофантових рівнянь над квадратичними кільцями. На основі раніше встановленої авторами стандартної форми матриць над квадратичними кільцями відносно $(z,k)$-еквівалентності матричне діофантове рівняння зведено до еквівалентного такого ж типу матричного рівняння з трикутними коефіцієнтами. Розв'язування цього матричного рівняння зведено до розв'язування системи лінійних рівнянь, яка містить лінійні двочленні діофантові рівняння, методи розв'яування яких добре відомі. Досліджено також структуру розв'язків матричних рівнянь. Зокрема, встановлено розв'язки з обмеженими евклідовими нормами. Показано, що таких розв'язків матричних рівнянь над квадратичними евклідовими уявними кільцями є скінченна кількість. Запропоновано ефективний спосіб побудови таких розв'язків.