Зростання канонічних добутків Вейєрштрасса нульового роду з випадковими нулями

Анотація

Нехай $\zeta=(\zeta_n)$ - комплексна послідовність нульового роду з показником збіжності $\tau$, $N(r)$ - її усереднена лічильна функція, $\pi(z)=\prod\bigl(1-\frac{z}{\zeta_n}\bigr)$ - канонічний добуток Вейєрштрасса, а $M(r)$ - максимум модуля цього добутку. Відомо, що тоді виконується нерівність Валунда-Валірона
$$
\limsup_{r\to+\infty}\frac{N(r)}{\ln M(r)}\ge w(\tau),\qquad w(\tau):=\frac{\sin\pi\tau}{\pi\tau},
$$
і ця нерівність є точною. В роботі доведено, що для більшості (у ймовірнісному сенсі) послідовностей $\zeta$ сталу $w(\tau)$ в нерівності Валунда-Валірона можна замінити сталою $w\left(\frac{\tau}2\right)$.