Задачі диференціальної зв'язності для деяких класичних многочленів

Анотація

Нехай дано дві множини многочленів $\{ P_n(x) \}_{n\geq 0}$ та $\{ Q_n(x) \}_{n\geq 0}$ таких, що $$\deg ( P_n(x) ) =n, \deg ( Q_n(x) )=n.$$ Так звана задача диференціальної зв'язності між ними полягає у знаходженні коефіцієнтів $\alpha_{n,k}$ у виразі $\displaystyle Q_n(x) =\sum_{k=0}^{n} \alpha_{n,k} P_k(x).$ Нехай $\{ S_n(x) \}_{n\geq 0}$ $-$ це інша множина порядку $\deg ( S_n(x) )=n.$ Узагальнена задача зв'язності між ними полягає у знаходженні коефіцієнтів $\alpha^{(n)}_{i,j}$ у виразі $$ Q_n(x) =\sum_{i,j=0}^{n} \alpha^{(n)}_{i,j} P_i(x) S_{j}(x). $$ Задача зв'язності для різних типів многочленів має довгу історію, проте залишається цікавою і тепер. Коефіцієнти зв'язності грають важливу роль у багатьох задачах класичної та прикладної математики, особливо в комбінаториці, а також у математичній фізиці та прикладних застосуваннях квантової хімії. Для часткового випадку, коли $Q_n(x)=P'_{n+1}(x)$, задачу зв'язності називають диференціальною задачею зв'язності і відносять її до множини $\{ P_n(x) \}_{n\geq 0}.$

У статті наведено вирази у замкнутій формі задач диференціальної зв'язності для відомих систем многочленів.