Наближення класів $W^{r}_{\beta,\infty}$ тригармонійними інтегралами Пуассона

Анотація

Робота присвячена розв’язанню однієї з екстремальних задач теорії наближення функціональних класів лінійними методами, а саме дослідженню питань про наближення класів диференційовних функцій $\lambda$-методами підсумовування їх рядів Фур’є, заданими сукупністю $\Lambda =\{{{\lambda }_{\delta }}(\cdot )\}$ неперервних на $\left[ 0,\infty \right)$ функцій, залежних від дійсного параметра $\delta$. Розглянуто задачу Колмогорова-Нікольського, що займає особливе місце серед екстремальних задач теорії наближення, тобто задачу про знаходження асимптотичних рівностей для величини $\mathcal{E}{{\left( \mathfrak{N};{{U}_{\delta}} \right)}_{X}}= \underset{f\in \mathfrak{N}}{\mathop{\sup }}\,{{\left\| f\left( \cdot \right)-{{U}_{\delta }} \left( f;\cdot;\Lambda \right) \right\|}_{X}}$, де $X$ $-$ нормований простір, $\mathfrak{N}\subseteq X$ $-$ заданий клас функцій, ${{U}_{\delta }}\left( f;x;\Lambda \right)$ $-$ конкретний метод підсумовування рядів Фур'є. Зокрема, в роботі досліджуються апроксимативні властивості тригармонійних інтегралів Пуассона на класах Вейля-Надя. Отримано асимптотичнi формули для верхнiх граней вiдхилень тригармонійних інтегралів Пуассона від функцій з класів $W^{r}_{\beta,\infty}$, якi забезпечують розв’язок вiдповiдної задачi Колмогорова-Нiкольського. Методи дослідження екстремальних задач наближення такого типу виникли і отримали свій розвиток завдяки роботам А.М. Колмогорова, С.М. Нікольського, С.Б. Стечкина, М.П. Корнейчука, В.К. Дзядика, О.І. Степанця та інших, але вони використовуються для наближень лінійними методами підсумовування, що задаються трикутними числовими матрицями. В даній же роботі згадані методи модифіковано для методів підсумовування, що задаються множиною функцій натурального аргументу.