Класи збіжності для аналітичних функцій в областях Рейнгарда

Анотація

Нехай $L^0$ $-$ клас додатних неспадних на $[1,+\infty)$ функцій $l$ таких, що $l((1+o(1))x)=(1+o(1))l(x)$ $(x\to +\infty)$. Припустимо, що $\alpha$ $-$ вгнута функція така, що $\alpha(e^x)\in L^0$, а функція $\beta\in L^0$ така, що $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}dx<+\infty$. У статті доведено теорему: якщо $\displaystyle f(z)=\sum_{\|n\|=0}^{+\infty}a_nz_n$, $z\in \mathbb{C}^p$, $-$ аналітична в обмеженій області Рейнгарда $G\subset \mathbb{C}^p$ функція, то з того, що виконується умова $\displaystyle \int\limits_{R_0}^{1} \frac{\alpha(\ln^{+} M_{G}(R,f))} {(1-R)^2\beta(1/(1-R))}d\,R<+\infty,$ $M_{G}(R,f)=\sup\{|F(Rz)|\colon z\in G\},$ випливає, що $$\sum_{k=0}^{+\infty}(\alpha(k)-\alpha(k-1)) \beta_1\left({k}/{\ln^{+}|A_k|}\right)<+\infty,$$ $$\beta_1(x)= \int\limits_{x}^{+\infty} \frac{dt}{\beta(t)},\quad A_k=\max\{|a_n|\colon\|n\|=k\}.$$