Про подібність матриць $AB$ і $BA$ над полем

Анотація

Нехай $A$ і $B$ $-$ $n\times n$ матриці над полем. Вивчення зв'язків між добутками матриць $AB$  $BA$ має давню історію. Загально відомо, що матриці $AB$ та $BA$ мають однакові характеристичні многочлени (отже, власні значення, сліди тощо).  Один вагомий результат був отриманий Х. Фландрерсом у 1951 році. Він вказав зв'язок між елементарними дільниками $AB$ та $BA$, який можна розглядати як критерій, коли дві матриці $C$ і $D$ можуть бути зображені у вигляді добутків $C=AB$  і $D=BA$. Якщо одна з матриць ($A$ або $B$) є неособливою, то матриці $AB$ і $BA$ подібні. Якщо ж $A$ і $B$ особливі матриці, то матриці $AB$ і $BA$ не завжди подібні. В статті наведено умови, за яких матриці $AB$ і $BA$ подібні. Поняття рангу відіграє важливу роль у цих дослідженнях.