Оцінка орієнтованого росту складених $p$-адичних цілих функцій, що залежить від $(p,q)$-го порядку

Анотація

Нехай $\mathbb{K}$ $-$ повне ультраметричне алгебраїчно замкнуте поле, $\mathcal{A}\left(\mathbb{K}\right)$ $-$ $\mathbb{K}$-алгебра цілих функцій на $\mathbb{K}$. Для довільної $p$-адичної цілої функції $f\in \mathcal{A}\left(\mathbb{K}\right)$ і $r>0$ позначимо $|f|\left(r\right)$ число $\sup \left\{|f\left(x\right)|:|x|=r\right\}$, де $\left\vert \cdot \right\vert (r)$ є мультиплікативною нормою на $\mathcal{A}\left(\mathbb{K}\right)$. Для довільних двох цілих функцій $f\in \mathcal{A}\left(\mathbb{K}\right)$ та $g\in \mathcal{A}\left(\mathbb{K}\right)$ співвідношення $\frac{|f|\left(r\right) }{|g|\left(r\right) }$ при $r\rightarrow \infty$ називають порівняльним ростом $f$ відносно $g$ в сенсі їхніх мультиплікативних норм. Аналогічно до того, як це роблять в комплексному аналізі, в цій статті ми визначаємо поняття $(p,q)$-го порядку (відповідно $(p,q)$-го нижнього порядку) росту наступним чином $\rho ^{\left(p,q\right) }\left( f\right) =\underset{r\rightarrow +\infty }{\lim \sup } \frac{\log ^{[p]}|f|\left( r\right) }{\log ^{\left[ q\right] }r}$ (відповідно $\lambda ^{\left( p,q\right) }\left( f\right) =\underset{ r\rightarrow +\infty }{\lim \inf }\frac{\log ^{[p]}|f|\left( r\right) }{\log ^{\left[ q\right] }r}$), де $p$ і $q$ два довільні натуральні числа. Ми досліджуємо деякі властивості росту складених $p$-адичних цілих функцій на основі їхнього $\left(p,q\right)$-го порядку і $(p,q)$-го нижнього порядку.