Про нелокальну крайову задачу для рівняння руху однорідної еластичної балки із нежорстко закріпленими кінцями

Анотація

В області $D=\{(t,x): t\in(0,T), x\in(0,L)\}$ досліджено крайову задачу для рівняння руху однорідної еластичної балки $$u_{tt}(t,x)+a^{2}u_{xxxx}(t,x)+b u_{xx}(t,x)+c u(t,x)=0, $$ де $a,b,c \in \mathbb{R}$, $b^2<4a^2c$, з нелокальними двоточковими умовами $$u(0,x)-u(T, x)=\varphi(x), \quad u_{t}(0, x)-u_{t}(T, x)=\psi(x)$$ і локальними крайовими умовами $$u(t, 0)=u(t, L)=u_{xx}(t, 0)=u_{xx}(t, L)=0.$$ Розв'язність цієї задачі пов'язана з проблемою малих знаменників, для оцінки знизу яких застосовується метричний підхід. Для майже всіх (стосовно міри Лебега) параметрів задачі встановлено умови розв'язності задачі в просторах Соболєва. Зокрема, якщо $\varphi\in\mathbf{H}_{q+\rho+2}$ і $\psi \in\mathbf{H}_{q+\rho}$, де $\rho>2$, то для майже всіх (стосовно міри Лебега в $\mathbb{R}$) чисел $a$ існує єдиний розв'язок $u\in\mathbf{C}^{\,2}([0,T];\mathbf{H}_{q})$ задачі.