Метрика на спектрі алгебри цілих симетричних функцій обмеженого типу на комплексному просторі $L_\infty$

Анотація

Відомо, що кожен комплекснозначний гомоморфізм алгебри Фреше $H_{bs}(L_\infty)$ усіх цілих симетричних функцій обмеженого типу на комплексному банаховому просторі $L_\infty$ є функціоналом обчислення значення в точці $\delta_x$ (визначеного як $\delta_x(f) = f(x)$ для $f \in H_{bs}(L_\infty)$) у деякій точці $x \in L_\infty.$ Тому спектр (множина усіх неперервних комплекснозначних гомоморфізмів) $M_{bs}$ алгебри $H_{bs}(L_\infty)$ є у взаємно однозначній відповідності із фактор-множиною $L_\infty/_\sim,$ де відношення еквівалентності "$\sim$'' на просторі $L_\infty$ визначене наступним чином: $x\sim y \Leftrightarrow \delta_x = \delta_y.$ Як наслідок, на $M_{bs}$ можна задати фактор-топологію. З іншого боку, для $M_{bs}$ існує природне подання у вигляді множини послідовностей, яка разом із заданими на ній операцією покоординатного додавання і фактор-топологією утворює абелеву топологічну групу. У статті доведено, що топологія на $M_{bs}$ є метризовною і породжується метрикою $d(\xi, \eta) = \sup_{n\in\mathbb{N}}\sqrt[n]{|\xi_n-\eta_n|},$ де $\xi = \{\xi_n\}_{n=1}^\infty,\eta = \{\eta_n\}_{n=1}^\infty \in M_{bs}.$