Точки вузькості і одностайно вузькі лінійні та ортогонально адитивні оператори

Ключові слова:
вузький оператор, ортогонально адитивний оператор, банахів простір КетеАнотація
Відомо, що сума довільних двох вузьких операторів на L1 є вузькою, проте для просторів Lp з 1<p<∞ аналогічне твердження хибне. Дана стаття продовжує численні дослідження на цю тему. По-перше, ми вивчаємо вузькість лінійних та ортогонально адитивних операторів на функціональних просторах Кете і векторних ґратках у фіксованій точці. Теорема 1 стверджує, що для кожного банахового простору Кете на просторі зі скінченною безатомною мірою існують лінійні неперервні оператори S,T:E→E, які є вузькими у деякій фіксованій точці, проте сума S+T не є вузькою у цій же самій точці. По-друге, ми уводимо і досліджуємо одностайно вузькі пари операторів S,T:E→X, тобто, для кожного e∈E та кожного ε>0 існує розклад e=e′+e″ на диз'юнктні елементи такий, що ‖S(e′)−S(e″)‖<ε та ‖T(e′)−T(e″)‖<ε. Стандартний метод в літературі доведення вузькості суми двох вузьких операторів S+T полягає в тому, щоби показати, що пара S,T є одностайно вузькою. Ми вивчаємо питання, чи кожна пара вузьких операторів з вузькою сумою є одностайно вузькою. Не маючи жодного контрприкладу, ми доводимо кілька теорем, які надають позитивну відповідь для деяких часткових випадків.